_selamat datang di blog wiratama

Sejalan dengan berkembangnya ilmu pengetahuan pada saat ini, para
ilmuwan semakin tergerak hatinya untuk mempelajari, mengkaji dan
mendalami ilmu-ilmu yang sedemikian luasnya, untuk mencari dan
menemukan persoalan-persoalan yang terjadi dan nyata di hadapa n kita.
Namun semua itu tidak terlepas dari ilmu dasar (basic sciences) sebagai dasar
pemikiran yang logis. Matematika telah banyak mengajarkan kita untuk
mengenal dan menjelaskan persoalan-persoalan sekaligus mendapatkan
jawabannya.
Berbagai persoalan dalam ilmu pengetahuan dan teknologi dapat
digambarkan ke dalam bentuk persamaan matematika. Matematika sebagai
ilmu ukur dan hitung memiliki banyak terapannya. Salah satu di antaranya
yaitu tentang model pertumbuhan populasi Lotka-volterra tentang sistem
mangsa-pemangsa, di mana sistem ini merupakan sistem persamaan
diferensial non linier. Sebagai contoh, yang pertama suatu jenis hewan, sebut
saja mangsa (kelinci) yang mempunyai makanan yang cukup, dan jenis hewan
yang kedua, sebut saja pemangsa (serigala) yang membutuhkan mangsa
sebagai makanannya.
Di atas telah diberikan suatu perumpamaan mangsa dan pemangsa, yaitu
kelinci dan serigala yang keberadaannya telah ditentukan di dalam hutan.
Kedua perumpamaan tersebut jika dikaitkan dengan matematika, terutama
persamaan diferensial, ia mempunyai dua variabel tak bebas dan keduanya
merupakan bentuk fungsi yang berhubungan dengan waktu. Misalkan x(t)
adalah banyaknya mangsa (menggunakan x untuk kelinci) dan y(t) adalah
banyaknya pemangsa (dengan y untuk serigala) pada saat t.
Andaikata tidak ada serigala, maka yang akan terjadi adalah kehidupan
kelinci akan tumbuh berkembang seiring dengan persediaan yang ia miliki,
keadaan seperti ini bisa ditulis ke bentuk persamaan

dx/dt=αx
di mana α sebagai konstanta positif.
Bisa saja terjadi yang sebaliknya, yaitu tidak ada mangsa, maka populasi
pemangsa akan berkurang dengan laju sebandin g dengan populasinya,
keadaan ini bisa ditulis dengan persamaan
dy/dt=-γy

di mana γ sebagai konstanta positif.
Karena terjadi interaksi di antara keduanya, maka apabila kita modelkan
kedalam persamaan akan menjadi:
dx/dt=αx-βxy
dan
dx/dt=-γy +δxy

Sistem Persamaan Lotka-Volterra
Persamaan Lotka-Volterra menurut ilmu ekologi menggambarkan sebuah
model interaksi dua spesies (model mangsa-pemangsa), misalkan α
merupakan konstanta positif (laju pertumbuhan mangsa), β (laju pemangsa
terhadap mangsa), γ (laju kematian pemangsa), dan δ(laju pertumbuhan
pemangsa dengan mengkonsumsi mangsa). Kondisi seperti ini dapat kita
nyatakan sebagai:


1. x menunjukkan laju pertumbuhan populasi mangsa dx αxdt (nilai
keseimbangan mangsa), yang banding terbalik dengan laju penurunan
populasi pemangsa dx βxydt (hasil nilai keseimbangan mangsa dan
pemangsa).
2. y menunjukkan laju pengurangan populasi pemangsa dy γ y dt (nilai
keseimbangan pemangsa), akan tetapi laju pertumbuhan dy δ x y dt
(hasil nilai keseimbangan mangsa dan pemangsa juga).
Dalam hal ini diperoleh sepasang persamaan diferensial, yaitu:
Persamaan mangsa:
dx/dt=αx-βxy
di mana βxy menunjukkan bahwa populasi mangsa mulai menurun.
Persamaan pemangsa:
dx/dt=-γy +δxy
di mana dxy menunjukkan bahwa populasi pemangsa mulai
meningkat.
Pada model sistem seperti ini, para pemangsa tumbuh dengan subur pada
saat mangsanya sangat banyak, akan tetapi pada akhirnya persediaan makanan
mereka akan menurun. Ketika populasi pemangsa menurun, maka populasi
mangsa akan meningkat lagi. Keadaan ini akan terus berputar (tumbuh dan
turun)
Kesetimbangan Populasi
Keseimbangan populasi akan terjadi apabila tingkat populasi tidak
berubah, atau kedua persamaan diferensial sama dengan nol.
X(α-βy)=0
-y(-γ +δx)=0
untuk x dan y dari persamaan di atas diperoleh persamaan
y 0, x 0
Dan
Y=α/β ,x=γ/δ
oleh karena itu diperoleh dua keseimbangan

Menentukan Nilai Eigen Dari Matriks Jacobian Dalam Sistem
Persamaan Lotka-Volterra
Kestabilan titik tetap dapat ditentukan oleh pelinieran dengan turunan
parsial.
X(α-βy)=0
-y(-γ +δx)=0
dengan menghilangkan variabel x dan y diperoleh
Y=α/β ,x=γ/δ
Matriks jacobian dari model mangsa-pemangsa adalah
J(x,y)=[■(α-βy&-βy@δx&-γ +δx)]

Titik tetap yang pertama. Kita misalkan y 0 dan x 0 maka matriks
jacobiannya adalah


J(0,0)=[■(α-βy&-βy@δx&-γ +δx)]

=[■(α-β0&-β0@δ0&-γ +δ0)]
=[■(α&0@0&-γ )]
nilai eigen dari matriks ini adalah λ1 α dan λ2 γ
Titik tetap yang kedua. Kita misalkan Y=α/β ,x=γ/δ
J(γ/δ,α/β )=[■(α-βy&-βy@δx&-γ +δx)]
=[■(α-β α/β&-β α/β@δ γ/δ&-γ +δ γ/δ)]
=[■(α-α&-α@γ&-γ+γ)]
[■(0&-α@γ&0)]
nilai eigen dari matriks ini adalah λ1 α dan λ2 γ

Contoh Pencarian Nilai Eigen
Misalkan persamaan Lotka-Volterra memiliki nilai dengan α 0.2;
β0.005 ;γ 0.5; dan δ 0.01.
Dengan nilai α , β , γ dan δ yang diberikan, persamaan lotka-volterra
menjadi:
dx/dt=0.2x-0.005xy
dx/dt=-0.5y +0.01xy
baik x maupun y akan konstan jika kedua turunan bernilai nol, yakni,
A' A(0,2 0,05B) 0
B' B(0,5 0,01A) 0

Salah satu solusinya adalah x = 0 dan y = 0. (ini masuk akal : jika tidak
ada kelinci maupun serigala, populasi tentunya tidak akan bertambah). Solusi
konstan lainnya adalah dengan mencari titik tetap (fixed point).
fixedpoint := {x0., y0. }, {x50., y40. }
Jadi populasi ekuilibrium terdiri dari 40 serigala dan 50 kelinci. Ini berarti
bahwa 50 kelinci cukup untuk mendukung populasi serigala sebanyak 40.
tidak ada telalu banyak serigala (yang akan mengakibatkan lebih sedikit
kelinci) ataupun terlalu sedikit serigala (yang akan mengakibatkan lebih
banyak kelinci).